. materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Silakan disimak selengkapnya..
Pengertian Barisan Bilangan
Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang mempunyai aturan tertentu.
Contoh Barisan bilangan :
1) 2, 6 , 10, 14,…
Aturan pembentukannya adalah “ ditambah 4”
Dua suku berikunya adalah 18 dan 22.
2) 1, 2, 5, 10,…
Aturan pembentukannya adalah “ ditambah bilangan ganjil berurutan “
Dua suku berikutnya adalah 17 dan 26
3) 2, 6, 18, 54, ….
Aturan pembentukannya adalah “dikalikan 3”
Dua suku berikutnya adalah 162 dan 486
4) 96, 48, 24, 12, …
Aturan pembebtukannya adalah “ dibagi 2”
Dua suku berikutnya adalah 6 dan 3
5) 1, 1, 2, 3, 5, …
Aturan pembentukannya adalah “ suku berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua suku di depannya “. Dua suku berikutnya adalah (3+5)=8 dan (5+8) = 13. Barisan bilangan 1,1,2,3,5,8,,…… disebut barisan Fibonacci
Macam-macam barisan bilangan :
1. Barisan dan Deret Aritmetika
a. Barisan Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang mempunyai beda (selisih) yang sama/tetap.
Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus :
U1, U2, U3, ….Un
a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b
Selisih (beda) dinyatakan dengan b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1
Suku ke n barisan aritmetika (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a + (n-1) b
Keterangan:
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama →U1 = a
b = selisih/beda
Contoh soal :
1. Tentukan suku ke 15 barisan 2, 6, 10,14,…
Jawab:
n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1)4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58
b. Deret Aritmetika
Deret Aritmetika adalah jumlah suku-suku pada barisan aritmetika.
Bentuk umum deret aritmetika:
a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + …+ (a+(n-1)b )
Jumlah suku sampai suku ke n pada barisan aritmetika dirumuskan dengan:
Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )
Contoh soal Deret Aritmetika :
Suatu deret aritmetika 5, 15, 25, 35, …
Berapa jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?
Jawab:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500
2. Barisan dan Deret Geometri
a. Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa perkalian yang mempunyai rasio yang sama/tetap.
Suku-sukunya dinyatakan dengan:
U1, U2, U3, ….Un
a, ar, ar2, ar3, …., arn – 1
Rasio dinyatakan dengan r :
r = Un/Un-1
Suku ke n barisan Geometri (Un) dinyatakan dengan rumus:
Un = a . r n – 1
Keterangan:
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama→U1 = a
r = rasio
Contoh soal Barisan Geometri :
Suku ke 10 dari barisan 2, 4, 8, 16, 32, … adalah….
Jawab:
n = 10
a = 2
r = 2
Un = a . r n – 1
U10 = 2 . 210 – 1
= 2 . 29
= 210 = 1.024
b. Deret Geometri
Deret Geometri adalah jumlah suku-suku pada barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret geometri dengan Un = arn–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.
Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.
Sn = U1 + U2 + ... + Un
Sn = a + ar + ... + arn–2 + arn–1 .............................................. (1) Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :
rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn ................................... (2)
Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :
rSn = | ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn | ||
Sn = | a + | ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 | - |
rSn - Sn = | –a + arn | ||
↔ (r – 1)Sn = a(rn–1)
↔ Sn =
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
↔ Sn =
Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.
Sn = , untuk r > 1
Sn = 
, untuk r < 1
Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku
Apa yang terjadi jika r bernilai 1?
Contoh Soal Deret Geometri:
Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku)
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)
Pembahasan :
a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1).
Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.
Sn = ↔ S8 = 
= 2(256 – 1) = 510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.
b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...
Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = 
(r < 1).
Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.
Sn = ↔ S6 = 
= 24(1- 
) = 
Contoh Soal Geometri :
Diketahui deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363. Tentukan :
a. suku pertama;
b. rasio;
c. banyak suku.
c. banyak suku.
Penyelesaian :
Deret 3 + 32 + 33 + ... + 3n = 363
a. Suku pertama: a = 3
b. Rasio: r = ... = .... = 3
c. Untuk Sn = 363
Karena r = 3 > 1, kita gunakan rumus :
Sn =
↔ 363 = 
↔ 726 = 3n+1 – 3
↔ 3n+1 = 729
↔ 3n+1 = 36
Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.
Contoh Soal Geometri :
Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...
Kunci Jawaban :
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.
Sn = 
Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :
Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :
log 4n > log 3.001
↔ n log 4 > log 3.001
↔ n > 
↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)
Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.
Baca pula :
Demikian materi pelajaran matematika : Barisan Bilangan dan Deret Bilangan (Pengertian, Rumus dan contoh soal beserta pembahasannya). Semoga bermanfaat...
